BesselFunctions

Full name Microsoft.VisualBasic.Math.Distributions.BesselFunctions Assembly Microsoft.VisualBasic.Math.Core Members 7

修正贝塞尔函数（modified Bessel function）第一类 I_ν(x) 的实现。

本模块对应 R 语言之中的 besselI(x, nu, expon.scaled = FALSE)，用于 Skellam 分布的概率密度函数计算（参见 dskellam）。

00 Remarks

实现策略：

中等参数区域（x < 30 + ν）使用幂级数定义 I_ν(x) = Σ_k (x/2)^(2k+ν) / (k! Γ(k+ν+1))，并在对数域使用 log-sum-exp 累加，以避免中间项上下溢出；
大参数区域使用 Abramowitz & Stegun 9.7.1 的渐近展开，该渐近级数是发散的，因此在最小项处截断；
指数缩放形式 e^{-x} I_ν(x) 通过乘以 e^{-x} 得到，对应 R 之中 expon.scaled = TRUE 的行为。

01 Syntax

Microsoft.VisualBasic.Math.Distributions.BesselFunctions

02 Methods

Name	Overloads	Summary
BesselI	4	向量化入口（Vector 重载）。
BesselISeries	1	使用幂级数定义计算 I_ν(x)（对数域求和）。
BesselIAsymptotic	1	使用渐近展开计算大参数下的 I_ν(x)（Abramowitz & Stegun 9.7.1）。
LogAddExp	1	在对数域安全地计算 log(exp(a) + exp(b))。

03 Members

method BesselI overload 3 #

BesselI(Double, Double, Boolean)

修正贝塞尔函数第一类 I_ν(x)。

Parameters

Name	Type	Description
`x`	`Double`	自变量，要求 `x >= 0`（对于整数阶亦支持 `x < 0`）。
`nu`	`Double`	阶数 `ν`，要求 `ν >= 0`（负整数阶会退化为 `I_{-n} = I_n`）。
`exponScaled`	`Boolean`	若为 `True` 则返回指数缩放值 `e^{-x} I_ν(x)`，以避免大 `x` 时的溢出。

Returns

修正贝塞尔函数值；参数非法时返回 Double。

method BesselI overload 4 #

BesselI(Double(), Double(), Boolean)

按 R 的向量化语义（循环补齐）计算 besselI。

Parameters

Returns

长度等于两个输入向量长度的最大值的结果向量。

method BesselI #

BesselI(Vector, Vector, Boolean)

向量化入口（Vector 重载）。

method BesselI overload 2 #

BesselI(Vector, Double, Boolean)

标量阶数、向量自变量的便捷入口。

method BesselISeries #

BesselISeries(Double, Double, Boolean)

使用幂级数定义计算 I_ν(x)（对数域求和）。

method BesselIAsymptotic #

BesselIAsymptotic(Double, Double, Boolean)

使用渐近展开计算大参数下的 I_ν(x)（Abramowitz & Stegun 9.7.1）。

method LogAddExp #

LogAddExp(Double, Double)

在对数域安全地计算 log(exp(a) + exp(b))。